Pregunta 1:

A continuación, se presenta una serie de declaraciones relacionadas con el sesgo en el muestreo, señale de forma breve el tipo de sesgo que se observa y como podría solucionar el problema de sesgo. Si no observa sesgo en alguna de las declaraciones, comente solamente que es un experimento sin sesgo:

1. La Tercera quiere conocer la opinión de la gente sobre una propuesta de ley sobre el matrimonio igualitario. Un reportero del diario sale de la central ubicada en Las Condes y selecciona al azar a 300 personas que pasean por allí, preguntándoles sobre la ley propuesta. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo?.

Respuesta Aquí

2. Una empresa de telefonía quiere conocer el grado de satisfacción de los propietarios de su nuevo servicio 5g, para ver que tal es la calidad del servicio entregado. Para ello, selecciona al azar 500 números entre todo el conjunto de clientes, colocándose en contacto telefónico con ellos. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo?

Respuesta Aquí

3. Una compañía aérea quiere hacer una encuesta a sus clientes para mejorar su servicio. Durante un mes, envía un correo electrónico a una muestra aleatoria de clientes que hayan volado con la aerolínea el día anterior (ningún cliente será contactado más de una vez). En el correo electrónico se indica que la compañía aérea desea que el cliente rellene una encuesta de 10 minutos para ayudar a la compañía a mejorar su servicio. ¿Qué podemos decir de este plan de muestreo? ¿el sorteo de un producto podría solventar esto?.

Respuesta Aquí

Pregunta 2:

Explique una buena practica para desarrollar un muestreo, ¿Cree que en una encuesta real es factible obtener una muestra sin sesgo?

Respuesta Aquí

Pregunta 3:

Nombre una ventaja y una desventaja del método de máxima verosimilitud. Justifique cada una de las ventajas y desventajas señaladas.

Respuesta Aquí

Pregunta 4:

Considere que recopila \(X_{1},...,X_{n} \sim Poisson(\theta)\) donde \(\theta\) es un parámetro desconocido. Calcule el estimador de máxima verosimilitud para \(\theta\). Considere la siguiente expresión para la Poisson:

\[ f(X_{i};\theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\theta^{X_{i}}e^{-\theta}}{X_{i}!}\]

Nota: Puede ser útil utilizar el logaritmo natural para inferir \(\theta\).

Respuesta Aquí

Pregunta 5:

Suponga que usted ha realizado una sampling distribution de dos encuestas diferentes en los que obtiene los datos Muestreo 1 y Muestreo 2, al momento de estimar el parámetro \(\beta\) de cada uno de los muestreos, se da cuenta que el estimador para los diferentes datos varia según el tamaño de observaciones (n). Al darse cuenta de esto, gráfica el histograma del comportamiento de los estimadores, obteniendo los siguientes gráficos:

Suponiendo que la linea roja en los gráficos representa el valor real del parámetro para cada muestra, comente las características que observa en la evolución del estimador para el Muestreo 1 y el Muestreo 2.

Respuesta Aquí

Pregunta 6:

Considere que esta trabajando con intervalos de confianza al \(95\%\) e intenta estudiar un parámetro \(\theta\), ¿porque es incorrecto decir, en la visión frecuentista, que la probabilidad que \(\theta\) pertenezca al intervalo es del \(95\%\)?

Respuesta Aquí

Pregunta 7:

Se sabe que al realizar un test de hipótesis es posible equivocarse al tomar una decisión. Sí denotamos \(H_0\) como la hipótesis nula y \(H_1\) como la hipótesis alternativa, existen dos posibles errores que se pueden obtener:

• Rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) era correcta.
• Aceptar \(H_0\) cuando \(H_1\) era correcta.

En base a los errores señalados, de un ejemplo de cuando es más relevante disminuir las opciones de aceptar \(H_0\), si \(H_1\) es la correcta.

Respuesta Aquí

Pregunta 8:

Explique cual es la diferencia entre el test one-sided y two-sided, de un ejemplo en donde se pueda utilizar one-sided y otro donde se pueda utilizar two-sided. ¿Es un método mejor que el otro?

Respuesta Aquí

Pregunta 9:

Explique, con sus palabras, a que se refiere la siguiente afirmación: “Un resultado de significancia estadística es distinto a uno de significancia practica”. Complemente su respuesta analizando la siguiente frase:

'Se tienen datos normales de media desconocida. Con los datos, se realiza un test de hipótesis donde la hipótesis nula especifica que la media es cero. Realizando el test, se obtuvo un p-valor de $10^{-10}$, luego producto de este resultado la media necesariamente tiene que ser muy distinta a cero.'

Respuesta Aquí

Pregunta 1: Estimadores.

Esta pregunta tiene como objetivo comprobar a través de gráficos las características que poseen los estimadores.Por favor responda de forma separada las siguientes preguntas:

• En clases se vio que el estimador \(\hat{p}_{n} = \frac{1}{n} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}X_{i}\) es un estimador consistente para \(X_{i}\) Bernoulli de tasa \(p\), verifique esto númericamente para una distribución Bernoulli de \(p=0.5\), es decir grafique como se ve \(\hat{p}_{n}\) para valores de \(n\) y compárelo con el valor verdadero.

• Sabemos que no todos los estimadores insesgados son consistentes. Considere el estimador \(T_{n} = \hat{p}_{n} + \epsilon_{n}\) donde \(\epsilon_{n} \sim \mathcal{N}(0,1)\) es posible verificar que \(T_{n}\) es insesgado pero no es consistente, para ver esto repita lo que realizo en el punto anterior y estudie lo que sucede. ¿Porque cree que no es consistente el estimador?, Justifique su respuesta.

Respuesta:

Pregunta 2: Intervalo de Confianza

El objetivo de esta pregunta es visualizar los intervalos de confianza en datos simulados de una población, para visualizar la incertidumbre que presenta una estimación. Para esto, ustedes deberán generar datos de una distribución exponencial, la cual deberán considerar como los datos de la población. En base a los datos generados, simulen la sampling distribution de la media muestreal. Notar que el valor obtenido en cada muestra les entregará un estimador de la media, o sea, para cada valor podremos calcular un intervalo de confianza. Hecho esto, calculen el intervalo de confianza del \(95\%\) para cada una de las medias estimadas, utilizando la función de cuantil vista en clases.

Para la elaboración de esta parte de la tarea, se recomienda realizar el experimento con la siguiente secuencialidad:

• Obtener la media de la población (en este caso la exponencial).
• Realizar una sampling distribution con un tamaño de muestra igual a \(30\) sobre los datos generados de la población. Repita la obtención de la media un número elevado de veces (recomendación \(5000\) veces).
• Calcular el intervalo de confianza del \(95\%\) para cada uno de las medias obtenidas en las iteraciones.
• De acuerdo a los valores obtenidos (medias e intervalos de confianza), grafique cada una de las medias obtenidas en conjunto a sus intervalos de confianza. Aquí debe notar que, si el intervalo de confianza contiene a la media de la población, este se considerará como parte del intervalo de confianza del \(95\%\), haga un conteo de cuantos valores están contenidos en este intervalo.
• Señalar en el plot de intervalo de confianza los valores que están dentro y fuera del intervalo. Comente que visualiza de los intervalos de confianza obtenidos, ¿existe incertidumbre?.
• En base al conteo realizado en el punto anterior, observe cómo se comporta la proporción de intervalos de confianza, ¿es acaso este igual al \(95\%\) teórico usado para calcularlo?.

Notar: Responder cada una de las preguntas señaladas en esta sección.

Hints:

• Para realizar la sampling distribution podría serle útil el comando sample().
• Puede ser útil generar un dataframe para graficar con ggplot2.

Respuesta:

# Definimos tamaños de muestreo
tamano_muestra = 30
n_muestras = 5000

# Generamos una exponencial para luego generar el subsampling de ella
exponencial = rexp(10000, rate = 2)
# Obtenemos la media poblacional de la exponencial

# Sampling distribution, calculo del intervalo de confianza y proporción.
# - En base a la distribución exponencial, generamos multiples sampling 
# distribution.
# - Se estima la media del muestreos y obtenemos el intervalo de confianza de 
# cada una de las muestras

# Plot de Intervalos de confianza (ver respuesta esperada)

# Plot de proporción de Intervalos de confianza

Pregunta 3: Estimación de Máxima Verosimilitud

En esta pregunta deberán trabajar con el dataset Body Measurements_original.csv. El objetivo será visualizar e inferir los parámetros que componen a dos variables del dataset. Para esto deberá visualizar el comportamiento de la likelihood, utilizando diferentes cantidades de datos, y realizar la optimización de la likelihood para obtener los estimadores de las variables a través de la función nlminb(). Notar que esta pregunta consiste en dos partes.

1. La primera actividad consiste en realizar inferencia sobre la variable TotalHeight, donde deberá asumir y realizar los siguientes puntos:

• Asuma que los datos de TotalHeight distribuyen de forma gaussiana. Visualice esto a través de un gráfico de densidad en la variable TotalHeight.
• Grafique a través de un gráfico de calor el rango de valores en que se mueve la solución del problema de likelihood, para esto defina su problema en base a -log(likelihood). Mas información se entrega en el esqueleto de la pregunta.
• Visualice cómo se comporta la -log(likelihood) con diferentes cantidades de datos para la estimación de \(\mu\); para visualizar esto, fije \(\sigma\) en 12 y varié solamente el valor de \(\mu\). Para observar el comportamiento del estimador con diferentes cantidades de datos, realice un subsampling de 100 datos, 300 datos y la totalidad de los datos de la variable TotalHeight. ¿Qué se puede observar acerca del comportamiento del estimador \(\mu\)?, responda brevemente esta pregunta.
• Finalmente aplique el comando nlminb() sobre la likelihood y encuentre el máximo o mínimo del problema a optimizar. Señale implícitamente cuales son los valores obtenidos para \(\sigma\) y \(\mu\).

2. Para la segunda parte deberá escoger otra de las variables que componen el dataset, como por ejemplo Age, y estimar a traves de la -log(likelihood) solo los parámetros de la distribución que observa (notar que solo debe inferir los estimadores de variable escogida). Para señalar la distribución de los datos se recomienda realizar el plot de densidad y comparar con el comportamiento de las distribuciones teóricas vistas en clases.

Cabe señalar que el método de máxima verosimilitud deberá ser programado por usted y no podrá utilizar librerías que entreguen el valor directo (por ejemplo, la librería MASS).

Respuesta

# Carga de dataset

# Primera Parte
# Plot de densidades de la variables TotalHeight

# Plot de Likelihood
# - Generar una función de la likelihood de la normal
# - Señalar el rango de valores para observar la solución. Genere un vector con 
# los valores

# Plotear gráfico de calor a través filled.contour()
ll_plot <- function(a, b) {
  # Definimos la likelhood
  
}

# Vectorizamos nuestra función para recorrer y estimar los valores
ll_plot = Vectorize(ll_plot)

mu = ... # definimos secuencia de 20 -> 80 de 0.5 en 0.5.
sigma = ... # definimos secuencia de 5 -> 23 de 0.5 en 0.5.
ll_plot = outer(X=mu, Y=sigma, ll_plot)

# Obtenemos el mapa de calor con los valores mas probables
filled.contour(x=mu, y=sigma, z=ll_plot, xlab=expression(mu), 
               ylab=expression(sigma))

# Plot de comportamiento de SOLO mu al variar la cantidad de datos



# Obtener la solución que minimiza o maximiza la likelihood
# Producto de como funcionan nlminb es necesario definir un nuevo tipo de función
# para encontrar los parametros de la likelihood, por favor revisar estructura entregada.
likelihood <- function(param) {
  # Definimos los parámetros de entrada de la función
  mu = param[1]
  sigma = param[2]
  # Definimos la likelihood como la suma logaritmica de la función de densidad
  
}

# Optimizador para encontrar los parametros de la likelihood. Referencia: https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/nlminb
nlminb(objective=likelihood, start= , lower= , upper= )

# Segunda Parte
# Graficar la densidad y obtener el parámetro de la variable propuesta.

Pregunta 4: Bootstrap

Para esta pregunta será necesario cargar el dataset SAT_GPA.csv, con el que estudiaremos la correlación entre las variables SAT y GPA. Dentro de las variables: GPA representa el rendimiento académico de un estudiante en el sistema estadounidense, mientras que SAT es una prueba de admisión universitaria en estados unidos. Las actividades por realizar en esta pregunta son las siguientes:

• Visualizar la correlación de los datos.
• Obtener la correlación entre los datos de las variables Total, quien representa el resultado de la prueba SAT en USA, y la variable GPA.
• Programar el método Bootstrap para calcular el error estándar de la correlación. Para la simulación utilice un numero de muestras (B) igual a 5000 o algún otro numero de este orden.
• Visualizar a través de un gráfico el histograma obtenido al realizar el muestreo con Bootstrap.
• Obtener el 95% de intervalo de confianza de la estimación por cuantiles como se vio en clases.

Nota: No se permite la utilización de librerías de bootstrap para esta parte.

Respuesta:

A work by CC6104